（本页面为2016年秋季存档，已停止更新。）

课程通知

[01/03] 有同学询问关于半期后内容的复习问题，建议是射影几何部分以[王]讲义的展开思路为主，注意变换群的观点，射影平面的齐次坐标的基本计算是要求掌握的内容；双曲几何部分可以参考我们在讲义、作业和习题课出现练习，如果希望补充学习材料，可以参考 [A. Beardon, The Geometry of Discrete Groups，GTM 91] 的第七章 Hyperbolic geometry；拓扑学部分可以参考[尤承业，《基础拓扑学讲义》]或[包志强，《点集拓扑与代数拓扑引论》]的相关章节，我们的课程以理解概念为基本要求，强调我们在前面各种几何的讨论中出现的例子。

[12/30] 本课程期末考试时间为2017/01/13（星期五）上午8：30～10：30，地点为二教211，范围为本学期讲授的全部非星号内容。

[12/22] 作业十三已经布置。

[12/15] 作业十二已经布置。

[12/08] 作业十一已经布置。

[12/01] 作业十已经布置。

[11/24] 期中部分题目的参考解答。

[11/23] 作业九已经布置。

[11/02] 作业八已经布置。

[11/10] 本周无作业要求，建议自行练习的题目包括：[尤] 第三章习题3.2：2（试画出那两张曲面）、6、7、9。【补充1】假设有一张二次曲面，它与每一张垂直于 Z 轴的平面相交，截口都是双曲线。判断这张二次曲面的类型。

[11/10] 活页3订正：群在集合上的作用，如我们课堂所言，其定义需要添加要求“恒等元作用为恒同变换，即 (e,x) 被映到 x”。

[11/06] 期中考试定于11/18/五随堂，出题范围到射影几何之前，即截至11/09/三的全部非星号内容。

[11/02] 作业七已经布置。

[10/25] 作业六已经布置。

[10/18] 作业五已经布置。

[10/10] 作业四已经布置。

[09/28] 作业三已经布置。

[09/20] 作业二已经布置。

[09/14] 作业一已经布置，见本页最下方“课后作业”栏，下周习题课交。

基本信息

课程编号：00132381

地点时间：

• 讲座（刘毅）：理教413，第一周至第十六周，周三3-4节，周五1-2节
• 答疑：通过电子邮件或预约
• 习题课7（蒋文峰）：一教316，第一周至第十六周，周三10-11节
• 习题课8（丰海娇）：二教424，第一周至第十六周，周三10-11节

内容提要：本课程主要介绍向量代数、空间解析几何、几何变换（等距变换和仿射变换）、射影几何初步、双曲几何初步、几何拓扑初步，通过严格规范的论述，展现现代几何学常用的语言、观点和基本技术。

先修课程：无

授课对象：主要面向数学科学学院2016级本科生

考核方式：平时成绩占10%，期中考试成绩占30%，期末考试成绩占60%。平时成绩由助教通过习题课表现（主要根据平时作业完成情况）产生

课程作业：将在课程页面发布，通常将在每周习题课提交，次周由助教返还

规定教材：尤承业《解析几何》，北京大学出版社

参考资料：

• 王长平《几何学》，预印讲义，本下载仅供课程教学使用，请自觉避免传播
• 其它补充材料的自撰散页

计划提纲

* 具体进度将根据授课情况灵活调整。

课后作业

作业一：[尤] 1.1：7、17、19、23；1.2：4、6。回收日期：09/21/三

作业二：[尤] 1.3：2、13；1.4:：7； 1.5：1、 9、13。回收日期：09/28/三

作业三：[尤] 3.2：3（圆锥面参见活页2）、11；3.3：1（1）（3）（7）（圆锥曲线要求写出的标准型和选取的转轴角）、3（1）、7。回收日期：10/12/三

作业四：[尤]  3.4：2、5、18、19；3.5：3、5。回收日期：10/19/三

作业五：[尤]  2.3：6（1）、9；2.4：10、11；2.6：6；2.7：6（说明如何选取适当的仿射标架，使坐标方程具有马鞍面的标准形式）。回收日期：10/26/三

作业六：[尤]  4.1：4；4.2：11、12（2）；[王]  II-1：2、8、9。回收日期：11/02/三

作业七：[尤]  自读第四章第三节，特别是3.3小节，并完成 4.3：4、9、12、15；【补充题1】空间中给定方向（单位向量），求证所有保持此方向不变的空间保距变换构成一个群。这个群是否为交换群？【补充题2】空间中保持原点不动，先绕Z轴正向右旋45°，再绕X轴正向右旋45°，求复合而成的变换的旋转轴（用一个平行于直线的向量表示）。回收日期：11/09/三

作业八：共四题如下。【补充题1】给定平面上两条平行直线和线外一点，能否仅用（无刻度）直尺作出过所给点关于所给直线的平行线？【补充题2】给定平面上任意三角形，能否仅用直尺作出外接圆圆心？【补充题3】记P(π)为欧氏平面π的射影完备化。（1）假设P(π)的一个射影变换φ把π中的一个单位正方形仍映到π中，并且成为单位正方形。这个变换是否是π的一个保距变换的射影延拓？（2）把单位正方形改成单位边长的正三角形，情况如何？【补充题4】设仿射平面π上有仿射坐标系，坐标轴X、Y。（1）试找一个射影平面P(π)的射影变换φ，使它限制在π\X的像集恰是π\Y。（2）对于你找到的φ，写出限制映射的坐标表达式。回收日期：11/23/三

作业九：[尤] 5.3：5、10、13、14；5.5：8；【补充题】试说明射影圆锥曲线如何定义内部和外部。（即射影平面去掉圆锥曲线剩余的两部分如何区分？另外，你能否合理地说明这里所谓两部分的意义？）回收日期：11/30/三

作业十：点击这里查看PDF文档。回收日期：12/07/三

作业十一：共六题：【题1】考虑分式线性变换f(z)=(1+z)/(1-z)。（1）写出它在实坐标(x,y)下的坐标表达式；（2）写出f(z)的任意n次迭代的表达式。（函数的迭代定义与数学分析中一样。）【题2】证明：除恒同而外，分式线性变换在扩充复平面上总是只有一个或者两个不动点。【题3】平面上给定两个不相似的三角形，（三角形理解为顶点和边的并集，）是否存在一个Mobius变换把一个变成另一个？【题4】（球极投影）三维空间中给定球面S，设O是S上一点。设平面P平行于S在O处的切平面，但是P不经过O。定义关于O的球极投影把球面S上除O而外的任何一点A映到直线OA与平面P的交点。试找一个关于空间中某球面的反演变换，使它限制在S去掉O上效果与关于O的球极投影相同。【题5】用题4说明，球极投影把S上的圆映成P上的圆或直线。【题6】对任意大于等于3的自然数n和任意正数a，请适当定义并证明：在双曲平面上，边长为a的正n边形总是存在。当a趋于正无穷小或正无穷大时，问相应的双曲正n边形内角如何变化？回收日期：12/14/三

作业十二：点击这里查看PDF文档。回收日期：12/21/三

作业十三：点击这里查看PDF文档。回收日期：12/28/三