课程页面-2016年春季-双曲几何引论

(本页面为2016年春季存档,已停止更新。)

课程通知

[06/07] 请注册本课的同学发邮件到我邮箱,用于接收期末开卷题目。

[05/20] 作业 7 已上传,回收日期 05/31

[05/06] 作业 6 已上传,回收日期 05/17

[04/20] 作业 5 已上传,回收日期 05/03

[04/06] 作业 4 已上传,回收日期 04/19

[03/25] 作业 3 第 4 题结论若有疑问,请找出正确的等式。(感谢何遵武指出。)

[03/23] 作业 3 已上传,回收日期 04/05

[03/09] 作业 2 已上传,回收日期 03/22

[02/29] 本课程现已列为本科专业任选。

[02/24] 作业 1 已上传,回收日期 03/08。文件为 pdf 格式,见本页面下方课后作业一栏。

基本信息

地点时间:三教 504,第 1 周至第 16 周,每周周二 3-4 节,单周周四 5-6 节

答疑方式:通过电子邮件或预约

课程内容:本课程讲授双曲几何和 Klein 群的基本理论,以及双曲流形的有关知识。课程计划从双曲空间的定义出发,比较完整地介绍关于有限体积三维双曲流形的相关结果,特别包括双曲 Dehn 手术定理、Mostow 刚性定理和 Margulis 引理。上述内容大体覆盖 W. P. Thurston 预印讲义中前八章。与这部分内容密切相关地,课程也简要介绍几何化猜想的内容和动机 ,特别是陈述流形几何分解的结果,但不讨论其证明。

预备知识:选修本课程应具备抽象代数、拓扑学、微分流形的知识背景。

授课对象:主要面向数学系研究生(硕士或博士),适合高年级本科旁听。

考核方式:平时作业占60%,期末闭卷考试占40%。作业隔周布置,根据完成情况评分。鼓励讨论,但必须独立完成。除特别说明的情况外,一般总是要求在回收日期当日课间或下课时提交。每人允许迟交的作业一次,其余迟交的作业将不计入平时成绩。

规定教材:无

参考书目:

[1] W. P. Thurston, The Geometry and Topology of Three-Manifolds, 预印讲义, http://library.msri.org/books/gt3m/ ( 免费可下载 )
本课程的主要参考书

[2] J. Ratcliffe, Foundations of Hyperbolic Manifolds, 2nd ed., Graduate Texts in Mathematics, vol. 149, Springer, New York, 2006.
用于补充主要参考书省略的概念、论证

[3] P. Scott, The geometries of 3-manifolds, Bull. London Math. Soc. 15 (1983), no. 5, 401--487.
供几何化部分参考

计划提纲

* 具体进度将根据授课情况灵活调整。

1. 引论(共3讲):1.1. 课程概述;1.2. 双曲几何空间的三种模型,双曲三角公式的推导举例;1.3. 保距变换群的刻画,低维保距变换的分式线性变换表示,分类

2. 双曲流形和 Klein 群(共3讲):2.1. 二维流形的几何化,Fuchs 群;2.2. 离散群和不连续群作用;2.3. 双曲流形构造举例,三维双曲化的动机和综述

3. 8字结的补空间(上):完备双曲结构(共3讲):3.1. 8字结补空间上完备双曲结构的构造;3.2. 理想双曲四面体的几何;3.3. 完备结构的唯一性

4. 8字结的补空间(下):双曲 Dehn 手术(共3讲):4.1. 完备化释题,一般链环上的手术;4.2. 广义的 Dehn 手术不变量;4.3. 8字结的Dehn 手术:双曲的和例外的情形

5. Jorgensen—Thurston 定理(共3讲):5.1. Margulis 引理,双曲流形的厚—薄分解;5.2. Jorgensen—Thurston 定理;5.3 有限体积三维双曲流形的结构

6. 形变(共3讲):6.1. 形变的概念和刻画语言;6.2. 二维双曲流形的Teichmuller 空间;6.3. 三维双曲流形的形变维数

7. Gromov 范数和体积(共3讲):7.1. Gromov 范数,与双曲体积的关系;7.2. 测度同调论;7.3. 双曲流形的 Gromov 范数公式

8. Mostow 刚性定理(共3讲):8.1. 刚性的概念;8.2. Mostow 刚性定理;8.3. 其它形式的刚性

9. Thurston—Perelman 几何化(共3讲):9.1. 三维流形的拓扑简介;9.2. Seifert 纤维化空间,其它七种几何;9.3. 三维流形的几何化分解

课后作业

作业 1

作业 2

作业 3

作业 4

作业 5

作业 6

作业 7