作为第三种科学方法 —— 科学计算的核心，计算数学在电子计算机出现之后迅速发展壮大，已成长为数学内的重要分支，更是成为用数学和计算机解决科学与工程问题必不可少的理论工具。其中，微分方程数值解（包括微分积分方程和积分方程的数值解，方便起见统一称为微分方程数值解）是计算数学内一个非常丰富且活跃的领域。自 CFL 条件 1928 年首次面世算起，微分方程数值解在近百年的发展中取得了巨大的成功，汇成了三大类基本的数值方法：50 年代的有限差分，60 年代的有限元和 70 年代的谱方法。对于常见的微分方程类型，已有现成的数值格式甚至模拟软件可直接调用。这三类方法的收敛性都依赖于解的正则性，要达到最优的收敛阶皆需要精心调配网格，更为前提的是得有微分方程。随着科学研究的深入和社会发展的需求，一些自然形成的常见且重要的微分方程呈现出很高的维度。用这些基于网格的数值方法求解高维微分方程时会遇到所谓的“维度灾难”：计算成本随着维度指数增长。迄今为止还没有一种普适的方法能够一劳永逸地解决这个维度灾难问题。更甚者，当数据科学和智能（脑）科学的热潮涌来时，情况变得更糟糕，因为可能再也没有微分方程可解了，而是需要直接去面对数据或者离散的网络，正则性可能无从谈起，高维度更是与生俱来。如今的技术已经可以得到生物体的全脑高清图，例如果蝇的约由 10 万个神经元构成的脑神经网络，和涉及亿级神经元的小鼠大脑完整三维地图集等，那么智能形成机理的探索无论如何都绕不开这些超大规模的神经网络以及定义在其上的数学模型。尽管这些情况并不是百年前人们发展数值方法时所考虑的重点，但却是我们展望计算数学下一个百年时所必须面对的热点、重点和难点。为此，落脚于基础的前沿数学理论和高效的实用算法设计，本小组从如下两个方面开展了面向智能、量子和计算的交叉融合研究。

一、微分建模与数值方法

核心研究理念是引入随机粒子并充分利用其内蕴的自适应特性来缓解（克服）维度灾难：粒子随机产生，随机湮灭，在相应的空间内随机游走。为了保证计算精度和结果可靠，粒子的“生”、“灭”、“动”背后是一套精准的随机决策过程。“生”出足够多的粒子保证精度，“灭”去冗余的粒子保证效率，粒子随解而“动”，三者相辅相成、互为补充才能形成高效的高维自适应数值方法。借用网格自适应方法的语言来说就是：在网格需要加密的地方多产生粒子来提升分辨率，在网格需要粗化的地方多湮灭粒子来降低计算代价，粒子的随机游走可对比于网格的移动，用来刻画解的动力学行为。也就是说，秉持这个理念所得的随机粒子方法可以同时兼顾 h-，p- 和 r- 三种典型的自适应策略。

具体研究方向包括：高维数值方法（Numerical Methods for High-dimensional Problems），计算量子力学，Wigner 方程的数值方法，低正则性／奇性／无界／长时间问题的微分建模及其数值方法，Dirac 方程的数学理论和数值方法等。

二、离散建模与组合优化

核心数学问题是 P vs NP 问题。从以 DE（Differential Equation）为主的数学建模之路切换到以 DM（Discrete Model）为主的数学建模之路，强调离散结构的设计、分析和应用。

具体研究方向包括：计算复杂性理论，组合优化，图谱理论及其算法，NPC 问题的高效算法和图割问题的连续算法等。

===>>>  最新的研究工作可直接在预印本网站 arXiv上查看。

任何对高维问题、NPC 问题、微分建模和离散建模有兴趣的同学都欢迎来试试看，本研、毕设和读研（计算数学和信息科学两个方向均可以考虑）的都欢迎啊（具体研究题目不受领域和门户限制）！